Math1 + math 2

क्र.सं.	विषय (Section Name)	प्रति प्रश्न अंक	प्रश्नों की संख्या
1	Math1	2	13
2	Math 2 Percentage	2	10
कुल प्रश्न:	23

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

1 से 150 तक के बीच से एक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह या तो 6 से या 15 से या दोनों से विभाज्य है?

(A) 0.2 (B) 0.15 (C) 0.1 (D) 0.35

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: कुल संख्याएँ n(S) = 150
6 से विभाज्य संख्याएँ, n(A) = 150 / 6 = 25
15 से विभाज्य संख्याएँ, n(B) = 150 / 15 = 10
6 और 15 दोनों से विभाज्य (अर्थात् उनके LCM 30 से विभाज्य), n(A ∩ B) = 150 / 30 = 5
या तो 6 से या 15 से विभाज्य कुल संख्याएँ, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
n(A ∪ B) = 25 + 10 - 5 = 30
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 30 / 150 = 1/5 = 0.2

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

मान लीजिए कि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग से जुड़ी दो घटनाएँ हैं। तो, निम्नलिखित में से कौन सी परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) घटनाएँ हैं?

(A) A ∪ B = S (B) A ∩ B = φ (C) P(A) + P(B) = 1 (D) P(A ∩ B) = P(A)P(B)

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: परस्पर अपवर्जी घटनाओं (Mutually Exclusive Events) का अर्थ है कि वे दोनों घटनाएँ एक ही समय में एक साथ घटित नहीं हो सकती हैं। गणितीय और समुच्चय सिद्धांत (Set Theory) के अनुसार, ऐसी घटनाओं का कोई उभयनिष्ठ (Intersection) नहीं होता है। अतः A ∩ B = φ (एक रिक्त समुच्चय) होता है और P(A ∩ B) = 0 होता है।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

फलों के एक बक्से में 4 सेब, 5 संतरे और 6 अनार हैं। बक्से में से तीन फल यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वे सभी संतरे हैं?

(A) 2/91 (B) 10/91 (C) 5/91 (D) 4/91

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: फलों की कुल संख्या = 4 (सेब) + 5 (संतरे) + 6 (अनार) = 15
15 फलों में से 3 फल चुनने के कुल तरीके (Sample Space), n(S) = 15C3 = (15 × 14 × 13) / (3 × 2 × 1) = 455
सभी 3 फलों के संतरे होने के अनुकूल तरीके (Favorable Outcomes), n(E) = 5C3 = (5 × 4) / (2 × 1) = 10
अभीष्ट प्रायिकता P(E) = n(E) / n(S) = 10 / 455 = 2 / 91

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

एक कक्षा में, 35% छात्र अंग्रेजी में उत्तीर्ण हुए, 25% फ्रेंच में उत्तीर्ण हुए और 15% दोनों में उत्तीर्ण हुए। यदि एक छात्र को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि छात्र अंग्रेजी या फ्रेंच में उत्तीर्ण हुआ है?

(A) 9/20 (B) 11/20 (C) 7/20 (D) 13/20

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: मान लीजिए अंग्रेजी में उत्तीर्ण छात्र = n(E) = 35%
फ्रेंच में उत्तीर्ण छात्र = n(F) = 25%
दोनों में उत्तीर्ण छात्र = n(E ∩ F) = 15%
अंग्रेजी या फ्रेंच में उत्तीर्ण कुल छात्र (Union), n(E ∪ F) = n(E) + n(F) - n(E ∩ F)
n(E ∪ F) = 35 + 25 - 15 = 45%
अतः किसी यादृच्छिक छात्र के अंग्रेजी या फ्रेंच में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता = 45/100 = 9/20 होगी।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

एक कक्षा में, 35% छात्र अंग्रेज़ी भाषा में, 25% छात्र फ्रेंच भाषा में, और 15% छात्र दोनों भाषाओं में उत्तीर्ण हुए। यदि एक छात्र का चयन अक्रमित रूप से किया जाता है, तो इसकी क्या संभाव्यता है कि वह छात्र अंग्रेज़ी या फ्रेंच भाषा में उत्तीर्ण हुआ है?

(A) 9/20 (B) 11/20 (C) 7/20 (D) 13/20

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: अंग्रेज़ी में उत्तीर्ण छात्र P(E) = 35%
फ्रेंच में उत्तीर्ण छात्र P(F) = 25%
दोनों में उत्तीर्ण छात्र P(E ∩ F) = 15%
कम से कम एक विषय (अंग्रेजी या फ्रेंच) में उत्तीर्ण छात्र P(E ∪ F) = P(E) + P(F) - P(E ∩ F)
P(E ∪ F) = 35% + 25% - 15% = 45%
संभाव्यता (प्रायिकता) = 45 / 100 = 9 / 20

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

फलों के एक बक्से में 4 सेब, 5 संतरे और 6 अनार हैं। बक्से में से तीन फल अक्रमित रूप से निकाले जाते हैं। इसकी संभाव्यता कितनी है कि वे सभी संतरे हैं?

(A) 2/91 (B) 10/91 (C) 5/91 (D) 4/91

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: बक्से में फलों की कुल संख्या = 4 + 5 + 6 = 15
15 फलों में से 3 फल निकालने के कुल तरीके n(S) = 15C3 = (15 × 14 × 13) / (3 × 2 × 1) = 455
निकाले गए सभी 3 फल संतरे होने के अनुकूल तरीके n(E) = 5C3 = (5 × 4) / 2 = 10
अभीष्ट प्रायिकता = 10 / 455 = 2 / 91

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

एक अलमारी में कुल 80 अलग-अलग पुस्तकें हैं, जिनमें 26 गणित की पुस्तकें, 24 अंग्रेजी की पुस्तकें और 30 जीव विज्ञान की पुस्तकें हैं। यादृच्छिक रूप से एक पुस्तक चुनी जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि चुनी गई पुस्तक अंग्रेजी की पुस्तक नहीं है?

(A) 3/8 (B) 4/9 (C) 3/10 (D) 7/10

सही उत्तर: विकल्प (4)

व्याख्या: पुस्तकों की कुल संख्या = 80
अंग्रेजी की पुस्तकें = 24
ऐसी पुस्तकें जो अंग्रेजी की नहीं हैं = कुल पुस्तकें - अंग्रेजी की पुस्तकें = 80 - 24 = 56
प्रायिकता (चुनी गई पुस्तक अंग्रेजी की नहीं है) = (अंग्रेजी की पुस्तक न होने की संख्या) / (कुल पुस्तकें)
प्रायिकता = 56 / 80 = 7 / 10

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं और प्राप्त संख्याओं का योग 8 पाया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि संख्या 5 कम से कम एक बार आई हो?

(A) 1/5 (B) 2/5 (C) 3/5 (D) 4/5

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: यहाँ प्रतिबंध यह है कि दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 8 है।
योग 8 आने के संभावित परिणाम (Sample Space): (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
अतः कुल परिणाम n(S) = 5
अब, उन परिणामों को देखें जिनमें कम से कम एक बार संख्या '5' आई हो: (3,5) और (5,3)
अनुकूल परिणाम n(E) = 2
प्रायिकता = n(E) / n(S) = 2/5

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

जब एक अभिनत सिक्के को उछाला जाता है, तो एक चित आने की प्रायिकता 2/5 है। यदि सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो दो पट आने की प्रायिकता क्या होगी?

(A) 9/25 (B) 1/8 (C) 4/25 (D) 4/5

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: सिक्के पर चित (Head) आने की प्रायिकता P(H) = 2/5
सिक्के पर पट (Tail) आने की प्रायिकता P(T) = 1 - P(H) = 1 - 2/5 = 3/5
यदि सिक्के को दो बार उछाला जाता है, तो दोनों बार पट (Tail) आने की प्रायिकता (स्वतंत्र घटनाएँ) = P(T) × P(T)
प्रायिकता = (3/5) × (3/5) = 9/25

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

एक पति और उसकी पत्नी समान लिपिक पद की दो रिक्तियों के लिए एक साक्षात्कार में शामिल होते हैं। पति के चयन की प्रायिकता 3/5 है और पत्नी के चयन की प्रायिकता 1/4 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से केवल एक का चयन हो?

(A) 11/20 (B) 9/20 (C) 7/20 (D) 1/2

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: पति के चयन की प्रायिकता P(H) = 3/5, अतः चयन न होने की प्रायिकता P(H') = 1 - 3/5 = 2/5
पत्नी के चयन की प्रायिकता P(W) = 1/4, अतः चयन न होने की प्रायिकता P(W') = 1 - 1/4 = 3/4
केवल एक के चयन होने की शर्त = (पति का चयन हो और पत्नी का न हो) या (पत्नी का चयन हो और पति का न हो)
P(केवल एक) = [P(H) × P(W')] + [P(W) × P(H')]
= [ (3/5) × (3/4) ] + [ (1/4) × (2/5) ]
= (9/20) + (2/20) = 11/20

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

10वीं कक्षा की एक वार्षिक परीक्षा में, 38% छात्र गणित में अनुत्तीर्ण हुए और 26% छात्र भौतिकी में अनुत्तीर्ण हुए। यदि 25% छात्र दोनों विषयों में अनुत्तीर्ण हुए, तो दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत क्या है?

(A) 61% (B) 51% (C) 39% (D) 41%

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: गणित में फेल छात्र n(M) = 38%
भौतिकी में फेल छात्र n(P) = 26%
दोनों में फेल छात्र n(M ∩ P) = 25%
कम से कम एक विषय में फेल छात्रों का कुल प्रतिशत n(M ∪ P) = n(M) + n(P) - n(M ∩ P)
= 38 + 26 - 25 = 39%
चूंकि 39% छात्र किसी न किसी विषय में अनुत्तीर्ण रहे हैं, अतः दोनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों का प्रतिशत = 100% - 39% = 61%

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

लिखित परीक्षा में अपने अंकों के आधार पर चेतन को 3 साक्षात्कारों के लिए बुलाया जाता है। पहले साक्षात्कार में 8 उम्मीदवार हैं, दूसरे में 10 और तीसरे में 5 उम्मीदवार हैं। यदि प्रत्येक उम्मीदवार के चयन की प्रायिकता समान है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चेतन कम से कम एक पद के लिए चुना जाएगा।

(A) 0.25 (B) 0.42 (C) 0.63 (D) 0.37

सही उत्तर: विकल्प (4)

व्याख्या: चेतन के पहले साक्षात्कार में चयन होने की प्रायिकता = 1/8, अतः चयन न होने की प्रायिकता = 1 - 1/8 = 7/8
चेतन के दूसरे साक्षात्कार में चयन होने की प्रायिकता = 1/10, अतः चयन न होने की प्रायिकता = 1 - 1/10 = 9/10
चेतन के तीसरे साक्षात्कार में चयन होने की प्रायिकता = 1/5, अतः चयन न होने की प्रायिकता = 1 - 1/5 = 4/5
तीनों में से किसी भी साक्षात्कार में चेतन का चयन न होने की कुल प्रायिकता = (7/8) × (9/10) × (4/5) = 252 / 400 = 0.63
अतः कम से कम एक पद के लिए चयन होने की प्रायिकता = 1 - (किसी में भी चयन न होने की प्रायिकता)
= 1 - 0.63 = 0.37

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Probability & Set Theory

चार 6-फलकों वाले पासों को एक साथ उछाला जाता है। चार पासों में से ठीक तीन पासों पर प्राप्त संख्याओं के बराबर होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(A) 5/54 (B) 1/54 (C) 7/54 (D) 5/108

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: चार पासे उछालने पर कुल संभावित परिणाम = 6^4 = 1296.
हमें ठीक 3 पासों पर एक समान संख्या चाहिए और चौथे पर अलग संख्या चाहिए।
चार में से किन्हीं तीन पासों को चुनने के तरीके = 4C3 = 4
उन 3 पासों पर एक समान संख्या आने के विकल्प (1 से 6 तक) = 6C1 = 6 तरीके
अब बचे हुए 1 पासे पर एक अलग संख्या आनी चाहिए (बाकी बची 5 संख्याओं में से) = 5C1 = 5 तरीके
अतः अनुकूल परिणाम = 4 × 6 × 5 = 120
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम = 120 / 1296 = 10 / 108 = 5 / 54

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

यदि किसी संख्या का 20%, 120 में जोड़ा जाता है, तो परिणाम वही संख्या होती है। उसी संख्या का 80% क्या है?

(A) 240 (B) 120 (C) 180 (D) 140

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: माना कि संख्या x है।
प्रश्नानुसार:
x का 20% + 120 = x
0.2x + 120 = x
x - 0.2x = 120
0.8x = 120
यहाँ 0.8x का अर्थ ही 'संख्या का 80%' है।
अतः संख्या का 80% = 120 होगा।
(विस्तार से: x = 120 / 0.8 = 150, तो 150 का 80% = 120)

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक व्यक्ति को प्रति माह वेतन के रूप में ₹3840 प्राप्त होते हैं। वह हर महीने अपने वेतन का 15% बचाता है। प्रति माह उसका व्यय (₹ में) कितना है?

(A) 3348 (B) 3264 (C) 3213 (D) 3339

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: कुल वेतन = 100%
बचत = 15%
अतः व्यय = 100% - 15% = 85%
व्यक्ति का मासिक व्यय = ₹3840 का 85%
= 3840 × (85 / 100)
= 3840 × 0.85 = ₹3264

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक स्कूली छात्र ने एक संख्या को 7/2 के बजाय 2/7 से गुणा कर दिया। गणना में अनुमानित प्रतिशत त्रुटि क्या है? (दो दशमलव स्थानों तक)

(A) 91.84% (B) 71.42% (C) 83.67% (D) 95.12%

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: माना कि संख्या x है।
सही परिणाम आना चाहिए था = x × (7/2) = 3.5x
गलत परिणाम आया = x × (2/7) ≈ 0.2857x
त्रुटि का मान = सही मान - गलत मान = (7x / 2) - (2x / 7)
= (49x - 4x) / 14 = 45x / 14
प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही मान) × 100
= [ (45x / 14) / (7x / 2) ] × 100
= (45 / 14) × (2 / 7) × 100
= 9000 / 49 = 183.67% (यह गलत गणना है, सही इस प्रकार है)
ध्यान दें: प्रतिशत त्रुटि = (45 / 14) / (7 / 2) = (45 / 14) × (2 / 7) = 90 / 98 = 45 / 49
प्रतिशत त्रुटि = (45 / 49) × 100 = 91.836%
अनुमानित करने पर = 91.84%

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक डेस्कटॉप कंप्यूटर के मूल्य में हर वर्ष 10% की दर से मूल्यह्रास होता है। इसे 3 वर्ष पहले खरीदा गया था। यदि इसका वर्तमान मूल्य ₹13,122 है, तो इसका क्रय मूल्य क्या था?

(A) ₹18,000 (B) ₹20,000 (C) ₹15,000 (D) ₹16,000

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: माना कंप्यूटर का क्रय मूल्य (3 वर्ष पहले) = P
मूल्यह्रास की दर (R) = 10% प्रति वर्ष
वर्तमान मूल्य = P × (1 - R/100)³
13122 = P × (1 - 10/100)³
13122 = P × (9/10)³
13122 = P × (729 / 1000)
P = (13122 × 1000) / 729
P = 18 × 1000 = ₹18,000
अतः कंप्यूटर का क्रय मूल्य ₹18,000 था।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

विद्यालय का एक छात्र एक संख्या को 7/2 के बजाए 2/7 से गुणा कर देता है। गणना में अनुमानित प्रतिशत त्रुटि कितनी है? (दो दशमलव स्थानों तक)

(A) 91.84% (B) 71.42% (C) 83.67% (D) 95.12%

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: माना कि वह संख्या x है।
सही परिणाम = 7x/2
गलत परिणाम = 2x/7
त्रुटि = (7x/2) - (2x/7) = (49x - 4x) / 14 = 45x/14
प्रतिशत त्रुटि = (त्रुटि / सही परिणाम) × 100
= (45x/14) / (7x/2) × 100
= (45/14) × (2/7) × 100
= (90 / 98) × 100 = (45 / 49) × 100
= 91.836... %
दशमलव के दो स्थानों तक = 91.84%

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक डेस्कटॉप कंप्यूटर का मूल्य 10% प्रति वर्ष की दर से कम होता है। इसे 3 वर्ष पहले ख़रीदा गया था। यदि इसका वर्तमान मूल्य ₹ 13,122 है, तो इसका क्रय मूल्य कितना था?

(A) ₹18,000 (B) ₹20,000 (C) ₹15,000 (D) ₹16,000

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: माना कंप्यूटर का प्रारंभिक क्रय मूल्य ₹ P है।
मूल्य में वार्षिक कमी = 10%
3 वर्ष बाद वर्तमान मूल्य = P × (1 - 10/100)³
13122 = P × (90/100)³
13122 = P × (9/10) × (9/10) × (9/10)
13122 = P × (729 / 1000)
P = (13122 × 1000) / 729
P = 18 × 1000 = ₹18,000

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

यदि किसी संख्या का 20%, 120 में जोड़ा जाता है, तो परिणाम वही संख्या होती है। उसी संख्या का 70% क्या है?

(A) 125 (B) 105 (C) 225 (D) 157.5

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: माना कि मूल संख्या x है।
प्रश्नानुसार,
x का 20% + 120 = x
0.2x + 120 = x
120 = x - 0.2x
120 = 0.8x
x = 120 / 0.8 = 150
अब, इसी संख्या का 70% ज्ञात करना है:
150 का 70% = 150 × 0.70 = 105
अतः सही उत्तर 105 है।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक गाँव की जनसंख्या 110000 थी। पहले वर्ष में इसमें 5% की वृद्धि हुई और दूसरे वर्ष में 30% की वृद्धि हुई। दो वर्ष बाद इसकी जनसंख्या _______ है।

(A) 150150 (B) 148500 (C) 115500 (D) 143000

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: प्रारंभिक जनसंख्या = 1,10,000
पहले वर्ष में 5% की वृद्धि के बाद जनसंख्या = 1,10,000 × (105 / 100) = 1,15,500
दूसरे वर्ष में 30% की वृद्धि के बाद जनसंख्या = 1,15,500 × (130 / 100)
= 1155 × 130 = 1,50,150
अतः दो वर्ष बाद गाँव की जनसंख्या 150150 हो जाएगी।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

यदि पहली संख्या का 71% दूसरी संख्या के दो-बटे-नौ (2/9) के बराबर है, तो पहली संख्या का दूसरी संख्या से अनुपात क्या है?

(A) 203 : 641 (B) 200 : 639 (C) 198 : 642 (D) 204 : 638

सही उत्तर: विकल्प (2)

व्याख्या: माना पहली संख्या A और दूसरी संख्या B है।
प्रश्नानुसार:
A का 71% = B का (2 / 9)
A × (71 / 100) = B × (2 / 9)
A / B = (2 / 9) / (71 / 100)
A / B = (2 / 9) × (100 / 71)
A / B = 200 / 639
अतः पहली संख्या और दूसरी संख्या का अनुपात 200 : 639 होगा।

■ Unit & Topic: Quantitative Aptitude - Percentage

एक कंपनी के उत्पादन में हर वर्ष उतार-चढ़ाव होता है। एक वर्ष के लिए उत्पादन में 12% की वृद्धि होती है और अगले वर्ष इसमें 8% की कमी होती है। यह सिलसिला जारी रहता है। यदि गणना वर्ष 2015 से शुरू की जाती है, तो वर्ष 2019 में कंपनी के उत्पादन पर क्या प्रभाव पड़ेगा? (2 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित)

(A) 6.17% की वृद्धि (B) 5.16% की वृद्धि (C) 4.15% की कमी (D) 6.17% की कमी

सही उत्तर: विकल्प (1)

व्याख्या: वर्ष 2015 से 2019 के बीच कुल 4 वर्षों का अंतर है।
पहले वर्ष (2016) में वृद्धि = +12%
दूसरे वर्ष (2017) में कमी = -8%
तीसरे वर्ष (2018) में वृद्धि = +12%
चौथे वर्ष (2019) में कमी = -8%
माना 2015 में प्रारंभिक उत्पादन 100 था।
2019 में कुल उत्पादन = 100 × (112/100) × (92/100) × (112/100) × (92/100)
= 100 × 1.12 × 0.92 × 1.12 × 0.92
1.12 × 0.92 = 1.0304 (अर्थात प्रत्येक दो वर्ष के चक्र में 3.04% की वृद्धि)
4 वर्षों का प्रभाव = (1.0304) × (1.0304) = 1.06172416
अंतिम उत्पादन = 100 × 1.06172416 = 106.172416
कुल प्रतिशत वृद्धि = 106.172416 - 100 = 6.172416%
2 दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर = 6.17% की वृद्धि।

कृपया निर्देशों को ध्यानपूर्वक पढ़ें

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